并查集

将两个集合合并

询问两个元素是否在一个集合中

并查集就是在O(1)时间复杂度下支持以上两种操作

基本原理：每个集合用一棵树来表示，树根的编号就是整个集合的编号。每个节点存储它的父节点，p[x] 表示x的父节点

问题1:如何判断树根：if(p[x] == x)

问题2:如何求x的集合编号：while(p[x] != x) x = p[x];

问题3:如何合并两个集合：px是x的集合编号，py是y的集合编号，让p[x] = y;

并查集的精髓优化：在第一次执行查询元素所属集合后，该集合内所有元素的父节点均修改为根节点，后续查询该集合内所有元素的所属集合即可达到O(1)速度。此优化常称为路径压缩。

模版题1

一共有 nn 个数，编号是 1∼n1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 mm 个操作，操作共有两种：

M a b，将编号为 aa 和 bb 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
Q a b，询问编号为 aa 和 bb 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 nn 和 mm。

接下来 mm 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 aa 和 bb 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤1051≤n,m≤105

输入样例：

输出样例：

Yes
No
Yes

import java.util.*;

public class Main {
    static final int N = 100010;
    static int[] p = new int[N];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            p[i] = i;
        }
        while(m-- > 0) {
            String ops = sc.next();
            if(ops.equals("M")) {
                int a = sc.nextInt();
                int b = sc.nextInt();
                p[find(a)] = find(b);
            } else {
                int a = sc.nextInt();
                int b = sc.nextInt();
                if(find(a) == find(b)) {
                    System.out.println("Yes");
                } else {
                    System.out.println("No");
                }
            }
        }
    }
    
    // 查询元素x的祖宗节点 + 路径压缩
    public static int find(int x) {
        if(p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }
}

一般算法题中，不会考察单纯的并查集，而是需要维护一些额外信息，例如每个集合中元素的数量等

模版题2

给定一个包含 nn 个点（编号为 1∼n1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 mm 个操作，操作共有三种：

C a b，在点 aa 和点 bb 之间连一条边，aa 和 bb 可能相等；
Q1 a b，询问点 aa 和点 bb 是否在同一个连通块中，aa 和 bb 可能相等；
Q2 a，询问点 aa 所在连通块中点的数量；